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2017年成人高考《数学(文)》章节难点解析(7)
发布日期:2017-8-25 10:21:20 来源:广东成考网 阅读: 【字体:
难点7 奇偶性与单调性(一)

  函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

  ●难点磁场

  (★★★★)设a>0,f(x)= 是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数.

  ●案例探究

  [例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f( )=-1,当且仅当0

  (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

  命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

  知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

  错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.

  技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定 的范围是焦点.

  证明:(1)由f(x)+f(y)=f( ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.

  (2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.

  令0

  ∵00,1-x1x2>0,∴ >0,

  又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0

  ∴x2-x1<1-x2x1,

  ∴0< <1,由题意知f( )<0,

  即f(x2)

  ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.

  ∴f(x)在(-1,1)上为减函数.

  [例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)

  命题意图:本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.

  知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.

  错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.

  技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法.

  解:设0

  ∴f(-x2)

  ∴f(x2)

  由f(2a2+a+1)3a2-2a+1.解之,得0

  又a2-3a+1=(a- )2- .

  ∴函数y=( ) 的单调减区间是[ ,+∞]

  结合0

  ●锦囊妙计

  本难点所涉及的问题及解决方法主要有:

  (1)判断函数的奇偶性与单调性

  若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性.

  若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性.

  同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的“磁场”及“训练”认真体会,用好数与形的统一.

  复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:既把握复合过程,又掌握基本函数.

  (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目,下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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