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2017年成人高考《数学(文)》章节难点习题(7)
发布日期:2017-8-25 10:20:19 来源:广东成考网 阅读: 【字体:
一、填空题

  1.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.

  2.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0

  二、解答题

  3.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a>1).

  (1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

  (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

  4.(★★★★★)求证函数f(x)= 在区间(1,+∞)上是减函数.

  5.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)= ;

  (ii)存在正常数a使f(a)=1.求证:

  (1)f(x)是奇函数.

  (2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a.

  6.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且

  f(- )=0,当x>- 时,f(x)>0.

  (1)求证:f(x)是单调递增函数;

  (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.

  参考答案

  难点磁场

  (1)解:依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即 +aex.整理,得(a- )

  (ex- )=0.因此,有a- =0,即a2=1,又a>0,∴a=1

  (2)证法一:设00,x2>0,x2>x1,∴ >0,1-e <0,

  ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

  ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

  证法二:由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex-e-x=e-x·(e2x-1).当x∈(0,+∞)时,e-x>0,e2x-1>0.

  此时f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.

  歼灭难点训练

  一、1.解析:令t=|x+1|,则t在(-∞,-1 上递减,又y=f(x)在R上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1 上递减.

  答案:(-∞,-1 4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x,

  ∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞ 单调递增,故a>0.又知00,

  ∴b=-a(x1+x2)<0.

  答案:(-∞,0)

  二、证明:(1)设-10, >1且 >0,

  ∴ >0,又x1+1>0,x2+1>0

  ∴ >0,

  于是f(x2)-f(x1)= + >0

  ∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数.

  (2)证法一:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则 且由0< <1得0<- <1,即

  证法二:设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-10, >0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.

  6.证明:∵x≠0,∴f(x)= ,

  设1

  ∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)

  7.证明:(1)不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)=

  =-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.

  (2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).

  ∵f(x+a)=f[x-(-a)]= .

  ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]= =f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.

  8.(1)证明:设x1- ,由题意f(x2-x1- )>0,

  ∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- )-1=f[(x2-x1)- ]>0,

  ∴f(x)是单调递增函数.

  (2)解:f(x)=2x+1.验证过程略.

 

 

 

 

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