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2017年成人高考《数学(文)》章节难点习题(9)
发布日期:2017-8-25 10:13:03 来源:广东成考网 阅读: 【字体:
●歼灭难点训练

  一、选择题

  1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(-∞,+∞),那么( )

  A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)

  B.g(x)= [lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x]

  C.g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)-

  D.g(x)=- ,h(x)=lg(10x+1)+

  2.(★★★★)当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是( )

  二、填空题

  3.(★★★★★)已知函数f(x)= .则f--1(x-1)=_________.

  4.(★★★★★)如图,开始时,桶1中有a L水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=

  ae-nt,那么桶2中水就是y2=a-ae-nt,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有 .

  三、解答题

  5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)图象上的点.

  (1)写出函数y=g(x)的解析式;

  (2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围.

  6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断 [f(x1)+f(x2)]与f( )的大小,并加以证明.

  7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.

  8.(★★★★)设不等式2(log x)2+9(log x)+9≤0的解集为M,求当x∈M时函数f(x)=(log2 )(log2 )的最大、最小值.

  参考答案

  难点磁场

  解:(1)由 >0,且2-x≠0得F(x)的定义域为(-1,1),设-1

  F(x2)-F(x1)=( )+( )

  ,

  ∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.

  因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数.

  (2)证明:由y=f(x)= 得:2y= ,

  ∴f-1(x)= ,∵f(x)的值域为R,∴f--1(x)的定义域为R.

  当n≥3时,f-1(n)> .

  用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.

  (3)证明:∵F(0)= ,∴F-1( )=0,∴x= 是F-1(x)=0的一个根.假设F-1(x)=0还有一个解x0(x0≠ ),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解.

  歼灭难点训练

  一、1.解析:由题意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①

  又g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1) ②

  由①②得:g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- .

  答案:C

  2.解析:当a>1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a>1时,y=(1-a)x为减函数.

  答案:B

  二、3.解析:容易求得f- -1(x)= ,从而:

  f-1(x-1)=

  答案:

  4.解析:由题意,5分钟后,y1=ae-nt,y2=a-ae-nt,y1=y2.∴n= ln2.设再过t分钟桶1中的水只有 ,则y1=ae-n(5+t)= ,解得t=10.

  答案:10

  三、5.解:(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x-2a,y′=-y.即x=x′+2a,y=-y′.

  ∵点P(x,y)在函数y=loga(x-3a)的图象上,∴-y′=loga(x′+2a-3a),即y′=loga ,∴g(x)=loga .

  (2)由题意得x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; = >0,又a>0且a≠1,∴02a.f(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上为减函数,∴μ(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函数,从而[μ(x)]max=μ(a+2)=loga(4-4a),[μ(x)]min=μ(a+3)=loga(9-6a),于是所求问题转化为求不等式组 的解.

  由loga(9-6a)≥-1解得0

  ∴所求a的取值范围是0

  6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

  ∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( )2(当且仅当x1=x2时取“=”号),

  当a>1时,有logax1x2≤loga( )2,

  ∴ logax1x2≤loga( ), (logax1+logax2)≤loga ,

  即 f(x1)+f(x2)]≤f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号)

  当0

  ∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 [f(x1)+f(x2)]≥f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号).

  7.解:由已知等式得:loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内,圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=-u+k有公共点,分两类讨论.

  (1)当u≥0,v≥0时,即a>1时,结合判别式法与代点法得1+ ≤k≤2(1+ );

  (2)当u≤0,v≤0,即01时,logaxy的最大值为2+2 ,最小值为1+ ;当0

  8.解:∵2( x)2+9( x)+9≤0

  ∴(2 x+3)( x+3)≤0.

  ∴-3≤ x≤- .

  即 ( )-3≤ x≤ ( ) 

  ∴( ) ≤x≤( )-3,∴2 ≤x≤8

  即M={x|x∈[2 ,8]}

  又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1.

  ∵2 ≤x≤8,∴ ≤log2x≤3

  ∴当log2x=2,即x=4时ymin=-1;当log2x=3,即x=8时,ymax=0.

 

 

 

 

 

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