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2017年成人高考高起点文科数学考试章节难点习题(2)
发布日期:2017-8-24 10:02:58 来源:广东成考网 阅读: 【字体:

一、选择题

1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )

A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0

2.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件

二、填空题

3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的_________.

4.(★★★★)命题A:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B:曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.

三、解答题

5.(★★★★★)设α,β是方程x2-ax+b=0的两个实根,试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件?

6.(★★★★★)已知数列{an}、{bn}满足:bn= ,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.

7.(★★★★★)已知抛物线C:y=-x2+mx-1和点A(3,0),B(0,3),求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.

8.(★★★★★)p:-2

参考答案

难点磁场

证明:(1)充分性:由韦达定理,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.

设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.

又|α|<2,|β|<2,∴f(±2)>0.

即有 4+b>2a>-(4+b)

又|b|<4 4+b>0 2|a|<4+b

(2)必要性:

由2|a|<4+b f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.

∴方程f(x)=0的两根α,β同在(-2,2)内或无实根.

∵α,β是方程f(x)=0的实根,

∴α,β同在(-2,2)内,即|α|<2且|β|<2.

歼灭难点训练

一、1.解析:若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x·|x|=-(x|x+0|+b)

=-(x|x+a|+b)=-f(x).

∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件,又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数,即f(-x)=

(-x)|(-x)+a|+b=-f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.

∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.

答案:D

2.解析:若a=1,则y=cos2x-sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件,反过来,由y=cos2ax-sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.

答案:A

二、3.解析:当a=3时,直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1,而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.

答案:充要条件

4.解析:若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点,则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0,即F(x,y)+λG(x,y)=0,过P(x0,y0);反之不成立.

答案:充分不必要

三、5.解:根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p: 结论是q: (注意p中a、b满足的前提是Δ=a2-4b≥0)

(1)由 ,得a=α+β>2,b=αβ>1,∴q p

(2)为证明p q,可以举出反例:取α=4,β= ,它满足a=α+β=4+ >2,b=αβ=4× =2>1,但q不成立.

综上讨论可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件.

6.证明:①必要性:

设{an}成等差数列,公差为d,∵{an}成等差数列.

从而bn+1-bn=a1+n· d-a1-(n-1) d= d为常数.

故{bn}是等差数列,公差为 d.

②充分性:

设{bn}是等差数列,公差为d′,则bn=(n-1)d′

∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①

bn-1(1+2+…+n-1)=a1+2a2+…+(n-1)an ②

①-②得:nan= bn-1

∴an= ,从而得an+1-an= d′为常数,故{an}是等差数列.

综上所述,数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.

7.解:①必要性:

由已知得,线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)

由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点,

所以方程组 *有两个不同的实数解.

消元得:x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)

设f(x)=x2-(m+1)x+4,则有

②充分性:

当3

x1= >0

∴方程x2-(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0

因此,抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件3

8.解:若关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根,设为x1,x2.

则0

根据韦达定理: 有-2

反之,取m=- <0

方程x2+mx+n=0无实根,所以p q

综上所述,p是q的必要不充分条件.

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